miércoles
¿PARA QUÉ SIRVE EL CÁLCULO DIFERENCIAL?
RESPUESTA:
En
bachillerato, el CÁLCULO DIFERENCIAL, sirve de base para estudios profesionales
en ingeniería, ciencias naturales y sociales, donde se imparten cursos
superiores de matemáticas que formalizan su estudio y extienden sus
aplicaciones en procesos reales.
El
Cálculo Diferencial resulta ser una
poderosa herramienta de trabajo en manos de ingenieros y científicos ya que son
innumerables los problemas que pueden ser resueltos con ella.
La
palabra “cálculo” proviene del latín “calculus” que significa contar con
piedras. Precisamente desde que el hombre ve la necesidad de contar, comienza
la historia del cálculo, es decir, de las matemáticas.
FUNCIÓN
Definición de Función
Una función del conjunto A (llamado Dominio)
al conjunto B (llamado Contradominio o Rango) es una relación entre los
elementos del conjunto A y el conjunto B, tal que a cada elemento de A le
corresponde un único elemento de B.
La función es una regla que produce una
correspondencia entre dos conjuntos de elementos, tales que a cada elemento del
primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto.
En la Notación Funcional, el dominio de la función lo representarás con 𝑿 y el contradominio con 𝒀
𝒙 es un elemento del dominio (es decir, 𝑥 ∈ 𝑋)
Las siguientes expresiones son funciones:
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 + 𝟏
La correspondencia se ilustra a través de flechas
DOMINIO, CONTRADOMINIO O RANGO
Definición de Dominio.-
Se llama “Dominio de una función” al conjunto
de valores que puede tomar la variable independiente.
Definición de Contradominio o Rango.-
Es el conjunto de valores que puede tomar la
variable dependiente.
Concepto de Argumento.-
Es cada elemento del dominio
Concepto de Imagen.-
Es cada elemento que perteneciente al
conjunto y se le llama “Contradominio” el cual es correspondiente asociado a
cada argumento de la función.
FUNCIONES ALGEBRÁICAS Y FUNCIONES POLINÓMICAS
Las Funciones Algebraicas
Son aquellas cuya variable dependiente se
obtiene combinando un número finito de operaciones algebraicas de suma, resta,
multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces en los
que se involucra la variable independiente.
Son aquellas cuya regla de correspondencia
(la relación que existe entre un argumento y su imagen correspondiente
asociada) es una expresión algebraica.
Funciones polinómicas
Se le llama función polinómica de grado 𝑛, si tiene la forma (𝑥) = 𝑎0𝑥 𝑛 + 𝑎1𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛, 𝑎0
≠ 0. En donde 𝑛
es un entero positivo.
Las funciones polinómicas tienen una gran
aplicación en la elaboración de modelos que describen fenómenos reales. Algunos
de ellos son: la concentración de una sustancia en un compuesto, la distancia
recorrida por un móvil a velocidad constante, la compra de cierta cantidad de
objetos a un precio unitario, el salario de un trabajador más su comisión, la
variación de la altura de un proyectil, entre otros.
Todas las funciones polinómicas tienen como
dominio al conjunto de números reales 𝑅, pero su contradominio varía dependiendo del tipo de función que sea.
En las ecuaciones polinómicas, se pueden efectuar operaciones en las que
interviene la variable independiente, como la suma, la resta, la
multiplicación, la división, la potenciación y la raíz.
FUNCIÓN IDENTIDAD Y LINEAL
Función de identidad
La función de identidad se define mediante la expresión (𝑥) = 𝑥.
Tiene la propiedad de que a cada argumento 𝑥 del dominio le hace corresponder el mismo
valor en el contradominio y por lo tanto, esta función es la recta que pasa por
el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45°.
Función Lineal
La función lineal se define como una expresión de la forma (𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏.
La función lineal solo tiene una raíz en el
punto (− , 0), pues si (𝑥) = 0, 𝑚𝑥 + 𝑘 = 0, de donde, despejando 𝑚𝑥 = −𝑘, y finalmente 𝑥 = − .
La representación de este tipo de funciones
es una recta.
FUNCIÓN CONSTANTE Y CUADRÁTICA
Función Constante
La función constante se define mediante la
expresión 𝑦 =
(𝑥) = 𝑘, en donde 𝑘 es un número real diferente de cero, es decir 𝑘 ≠ 0.
La cual tiene la propiedad de que a cada argumento 𝑥 del dominio le hace corresponder la misma imagen 𝑘.
La función está definida por una constante y no interviene la variable independiente.
Función cuadrática
La función cuadrática es un polinomio de
segundo grado.
Viene expresada por una función polinómica de
segundo grado y su representación en el plano cartesiano es una parábola.
FUNCIÓN CÚBICA, RACIONALES E IRRACIONALES
Función cúbica
La función cúbica se define como un polinomio
de tercer grado
Tiene la forma (𝑥) = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, 𝑎 ≠
0.
Funciones racionales
Se expresan mediante el cociente de
polinomios.
Funciones irracionales
Vienen dadas por la raíz de una expresión
polinómica, o cuando la variable independiente está elevada a exponentes
fraccionarios.
FUNCIONES TRASCENDENTES Y SU CLASIFICACIÓN.
Son cuando la variable independiente forma parte del exponente o de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una relación trigonométrica.
Las funciones trascendentes se clasifican en:
Función exponencial, función logarítmica,
función trigonométrica directa e inversa.
Función exponencial:
Es una función en la que la variable
independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real.
Función logarítmica
Es la inversa de la función exponencial.
Funciones trigonométricas directas
Son aquellas donde la variable independiente
forma parte del ángulo en una razón trigonométrica.
Funciones trigonométricas inversas
Son las funciones inversas de las razones
trigonométricas.
Función creciente
Es creciente cuando a medida que crece el
valor de la variable independiente (x) crece el valor de la función f(x)
Función Decreciente
Es decreciente cuando a medida que el valor
de la variable independiente (x) aumenta, el valor de la función f(x)
disminuye. Esto dependerá de los intervalos en los que se analice.
Continuidad y discontinuidad:
Una función es continua si su gráfica puede
dibujarse de un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel y la
discontinua si puede levantar el lápiz y dibujar en dos o más trazos.
¿Qué ocurre cuando se tienen dos o más funciones en el planteamiento de problemas?
Respuesta
Se podrían obtener nuevas funciones
combinándolas con las operaciones básicas de suma, diferencia, producto y
cociente.
También se puede obtener nuevas funciones
realizando lo que en cálculo se conoce como composición de funciones
¿Qué es la derivada y qué estudia?
Respuesta
Es la razón de cambio instantánea con la que
varía el valor de una función matemática, según se modifique el valor de su variable
independiente, por lo que es el resultado de un límite y representa la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
¿Qué estudia la derivada?
Respuesta:
Estudia la rapidez con la que cambia una
variable con respecto a otra.
¿Cómo se lee el término de una derivada?
Respuesta:
Se lee como "derivada de la función f(x)
respecto de x".
¿Cómo se lee la derivada de un cociente?
Respuesta:
La derivada del cociente de dos funciones es
igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del
denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
¿Cuál es la derivada de una división?
La derivada de una división entre dos funciones es igual al denominador por derivada del numerador menos la derivada del denominador por el numerador, y esto entre el denominador elevado al cuadrado.
(fg)'=
fg'+f'g.
Se lee "la derivada de un producto de
dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por
la derivada de la primera"
Derivada de una suma
La derivada de una suma es igual a la suma de
las derivadas de los sumando.
f(x) = v + w f´(x) = v´ + w´
Ejemplo:
y = 5x³ - 4x² - ½ x + 4
y’ = 5x² - 8x – ½
y” = 30x – 8
y”’ = 30
yiv = 0
REGLAS DE DERIVACIÓN
1.- La derivada de una constante
La derivada de una constante es cero.
Ejemplo
f(x) = 5
f '(x) = 0
2.- La derivada de una potencia entera
positiva
La derivada de xn es n xn-1
Ejemplo 1:
f(x)= x²
f '(x)=2x
Ejemplo 2:
f(x)= x5
f '(x)= 5x5-1
f '(x)= 5x4
Ejemplo 3:
f(x)= 5x6
f '(x)= (6)5x6-1
f '(x)= 30x5
3.- La derivada de una constante por una
función.
cf(x), su derivada es cf'(x)
Ejemplo
f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4) = 15x4
4.- La derivada de una suma
(f+g)'=f'+g'
Es la suma de las derivadas de cada uno de
los términos por separado.
Ejemplo:
f(x)= 4x3 + x
f '(x)= 12x2 + 1
5.- La derivada de un producto
(fg)'=
fg'+f'g
"la derivada de un producto de dos
funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la
derivada de la primera".
Ejemplo:
f(x)= (6x + 1)(10x2 - 5)
f '(x)= 20x(6x + 1) + 6(10x2 - 5)
Suscribirse a:
Entradas (Atom)